Определить расстояние от точки а до плоскости треугольника всд

Начертательная геометрия

Определить расстояние от точки а до плоскости треугольника всд

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч.

Построить следы плоскости, заданной ∆BCD, и определить расстояние от точки А до заданной плоскости методом прямоугольного треугольника (координаты точек А, В, С и D см. в Таблице 1 раздела Задания);

1.2. Пример выполнения задания № 1

Первое задание представляет комплекс задач по темам:

1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость: по известным координатам трех точек B, C, D построить горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD;

2. Следы прямой, следы плоскости, свойства принадлежности прямой плоскости: построить следы плоскости, заданной ∆BCD;

3. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости, пересечение плоскостей, метод прямоугольного треугольника: определить расстояние от точки А до плоскости ∆BCD.

1.2.1. По известным координатам трех точек B, C, D построим горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD (Рисунок 1.1), для чего необходимо построить горизонтальные и фронтальные проекции вершин ∆BCD, а затем одноименные проекции вершин соединить.

Известно, что следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций.

У плоскости общего положения 3 следа: горизонтальный, фронтальный и профильный.

Для того чтобы построить следы плоскости, достаточно построить следы (горизонтальный и фронтальный) любых двух прямых, лежащих в этой плоскости, и соединить их между собой.

Таким образом, след плоскости (горизонтальный или фронтальный) будет однозначно определен, поскольку через две точки на плоскости (в данном случае этими точками будут следы прямых) можно провести прямую, и при том, только одну.

Основанием для такого построения служит свойство принадлежности прямой плоскости: если прямая принадлежит заданной плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости.

Следом прямой называется точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций.

Горизонтальный след прямой лежит в горизонтальной плоскости проекций, фронтальный – во фронтальной плоскости проекций.

Рассмотрим построение горизонтального следа прямой DB, для чего необходимо:

1. Продолжить фронтальную проекцию прямой DB до пересечения с осью X, точка пересечения М2 является фронтальной проекцией горизонтального следа;

2. Из точки М2 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой DB или ее продолжением. Точка пересечения М1 и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа (Рисунок 1.1), которая совпадает с самим следом М.

Аналогично выполняется построение горизонтального следа отрезка СВ прямой: точка М’.

Чтобы построить фронтальный след отрезка CB прямой, необходимо:

1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой CB до пересечения с осью X, точка пересечения N1 является горизонтальной проекцией фронтального следа;

2. Из точки N1 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с фронтальной проекцией прямой CB или ее продолжением. Точка пересечения N2 и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

Соединив точки M′1 и M1 отрезком прямой, получим горизонтальный след плоскости απ1. Точка αx пересечения απ1 с осью X называется точкой схода следов. Для построения фронтального следа плоскости απ2 необходимо соединить фронтальный след N2 с точкой схода следов αx

Рисунок 1.1 — Построение следов плоскости

Алгоритм решения этой задачи может быть представлен следующим образом:

  1. (D2B2 ∩ OX) = M2;
  2. (MM1 ∩ D1B1) = M1 = M;
  3. (C2B2 ∩ OX) = M′2;
  4. (M′2M′1 ∩ C1B1) = M′1 = M′;
  5. (CВ ∩ π2) = N2= N;
  6. (MM′) ≡ απ1;
  7. (αxN) ≡ απ2.

1.2.2. Для решения второй части первого задания необходимо знать, что:

  • расстояние от точки А до плоскости ∆BCD определяется длиной перпендикуляра, восстановленного из этой точки на плоскость;
  • любая прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости;
  • на эпюре проекции прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикулярны наклонным проекциям горизонтали и фронтали этой плоскости или одноименным следам плоскости (рис. 1.2) (см. в лекциях Теорему о перпендикуляре к плоскости).

Чтобы найти основание перпендикуляра, необходимо решить задачу на пересечение прямой (в данной задаче такой прямой является перпендикуляр к плоскости) с плоскостью:

1. Заключить перпендикуляр во вспомогательную плоскость, в качестве которой следует взять плоскость частного положения (горизонтально-проецирующую или фронтально-проецирующую, в примере в качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально-проецирующая γ, то есть перпендикулярная к π1, ее горизонтальный след γ1 совпадает с горизонтальной проекцией перпендикуляра);

2. Найти линию пересечения заданной плоскости ∆BCD со вспомогательной γ (MN на рис. 1.2);

3. Найти точку пересечения линии пересечения плоскостей MN с перпендикуляром (точка К на рис. 1.2).

4. Для определения истинной величины расстояния от точки А до заданной плоскости ∆BCD следует воспользоваться методом прямоугольного треугольника: истинная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – разность расстояний от его концов до плоскости проекций, в которой ведётся построение.

5. Определите видимость участков перпендикуляра методом конкурирующих точек. На примере — точки N и 3 для определения видимости на π1, точки 4, 5 — для определения видимости на π2.

Рисунок 1.2 — Построение перпендикуляра к плоскости

Рисунок 1.3 — Пример оформления контрольного задания №1

пример выполнения задания №1

Таблица 1– Значения координат точекВариантКоординаты (x, y, z) точекАВСD
115; 55; 5010; 35; 520; 10; 3070; 50; 40
280; 65; 5050; 10; 5510; 50; 2575; 25; 0
395; 45; 60130; 40; 5040; 5; 2580; 30; 5
4115; 10; 0130; 40; 4040; 5; 2580; 30; 5
555; 5; 6085; 45; 60100; 5; 3050; 25; 10
655; 5; 6070; 40; 2030; 30; 3530; 10; 10
760; 10; 4580; 45; 535; 0; 1510; 0; 45
85; 0; 035; 0; 2520; 0; 5540; 40; 0
950; 5; 4565; 30; 1030; 25; 5520; 0; 20
1060; 50; 3540; 30; 030; 15; 3080; 5; 20
1165; 35; 1550; 0; 3020; 25; 255; 0; 10
1275; 65; 5045; 10; 3560; 20; 1010; 65; 0
1395; 0; 1585; 50; 1010; 10; 1055; 10; 45
1445; 40; 4080; 50; 1010; 10; 1055; 10; 45
1580; 20; 3055; 30; 6015; 10; 2070; 65; 30
1675; 35; 3555; 30; 6025; 10; 2070; 65; 30
1775; 65; 5045; 5; 555; 45; 1070; 20; 0
1865; 15; 2040; 5; 600; 5; 2560; 60; 20
1970; 20; 1045; 15; 605; 10; 2060; 65; 10
2020; 50; 4510; 20; 1055; 50; 1080; 0; 60
210; 5; 5050; 50; 405; 55; 1045; 5; 0
2255; 50; 6545; 55; 50; 10; 4570; 0; 40
2365; 5; 1540; 60; 100; 20; 560; 20; 60
2450; 20; 4545; 60; 305; 20; 1060; 30; 5
2555; 15; 4040; 50; 255; 15; 1050; 40; 10
2615; 45; 4010; 25; 520; 10; 3065; 40; 35
2770; 30; 3055; 30; 6020; 5; 1565; 60; 25
2890; 0; 1580; 45; 1010; 10; 1050; 10; 45
29110; 10; 0120; 35; 3035; 5; 2070; 20; 5
3045; 40; 4080; 45; 1010; 10; 1055; 10; 40

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч.

Источник: https://cadinstructor.org/ng/checks/primer-zadaniya-1/

Перпендикуляр к плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Занятие 10

Определить расстояние от точки а до плоскости треугольника всд

§10. Построение перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

В курсе Начертательной геометрии часто встречаются задачи, связанные с проведением перпендикуляра к заданной плоскости. Существует теорема о проекциях прямого угла, которая имеет следующую формулировку:

Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то проекция угла на эту плоскость является также прямым углом.

Исходя из этой теоремы, можно утверждать следующее:

Горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости.

Фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Задача 10.1.

Определить расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником АВС (рисунок 47).

Рисунок 47. Исходные данные к задаче 10.1.

Решение:

Расстояние от точки до плоскости измеряется по перпендикуляру, проведенному от этой точки до заданной плоскости. Поэтому для решения этой задачи нужно выполнить следующие действия, которые являются алгоритмом для решения задач на определение расстояний от точки до плоскости:

1. Проводим две проекции перпендикуляра к плоскости.

2. Находим точку пересечения этого перпендикуляра с данной плоскостью (первая позиционная задача).

3. Определяем натуральную величину отрезка от заданной точки до точки пересечения перпендикуляра с плоскостью.

Итак, проводим перпендикуляр от точки D до плоскости треугольника АВС. Построим в плоскости треугольника горизонталь h. На горизонтальной проекции эпюра восстановим перпендикуляр из точки D1 к прямой h1 (рис. 48). Мы получили горизонтальную проекцию перпендикуляра.

Рисунок 48. Построение горизонтальной проекции перпендикуляра к плоскости.

Проведем в плоскости треугольника фронталь и построим фронтальную проекцию перпендикуляра к плоскости. (Рис. 49).

Рисунок 49.

Две проекции перпендикуляра к плоскости треугольника АВС

Следующий шаг решения задачи – определение точки пересечения перпендикуляра с заданной плоскостью, то есть, предстоит решить первую позиционную задачу, алгоритм которой был рассмотрен в занятии 7 (§7). Заключаем перпендикуляр в проецирующую плоскость (ФПП), находим прямую пересечения ФПП с плоскостью треугольника АВС, а затем определяем точку К – искомую точку пересечения перпендикуляра с плоскостью (рис. 50).

Рисунок 50. Построение точки К – пересечения перпендикуляра с плоскостью треугольника АВС.

Находим натуральную величину отрезка DK методом прямоугольного треугольника (см. Занятие 3), решение задачи представлено на рисунке 51.

Рисунок 51. Решение задачи 10.1.

Задача 10.2.

Построить эпюр прямой призмы, основанием которой является четырехугольник АВСD, высота призмы 30 мм. Исходные данные представлены на рисунке 52.

Рисунок 52. Исходные данные к задаче 10.2.

Решение.

Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны ее основанию. Для решения задачи восстановим перпендикуляр к плоскости четырехугольника из любой вершины основания, например, из точки А.

На горизонтальной проекции нужно провести перпендикуляр к проекции горизонтали плоскости основания – это будет горизонтальная проекция перпендикуляра. Поскольку сторона АВ является горизонталью, проводим прямой угол к прямой А1В1 из точки А1 (рис. 53).

Прежде чем построить фронтальную проекцию, нужно провести в плоскости основания призмы фронталь и провести перпендикуляр к прямой А212 из точки А2 (рисунок 53).

Рисунок 53. Построение проекций перпендикуляра из точки А к плоскости АВСD.

Определяем натуральную величину высоты призмы. На построенном перпендикуляре возьмем произвольную точку Р и определим натуральную величину отрезка АР. Луч А1Р0 является направлением натуральной величины прямой АР (рисунок 54).

Рисунок 54. Определение направления натуральной величины АР.

На луче А1Р0 отмеряем отрезок 30 мм и методом пропорций переносим полученную точку на перпендикуляр. Получаем точку Е – проекции Е1 и Е2 (рис. 55). Точка Е – это одна из вершин второго основания призмы.

Рисунок 55. Построение высоты призмы АЕ=30 мм.

Известно, что стороны оснований прямой призмы попарно параллельны, поэтому от точки Е достраиваем четырехугольник – второе основание призмы, соединяем вершины оснований ребрами, определяем видимость ребер и получаем окончательное решение задачи. Для наглядности грани призмы затонированы (рис.56).

Рисунок 56. Решение задачи 10.2.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/594f50008146c16e54fd2fef/5be1d30caecdfb00aae632c0

Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС (пример выполнения)

Определить расстояние от точки а до плоскости треугольника всд

РЕШЕНИЕ: Расстояние от точки до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра, проведенного из заданной точки к заданной плоскости.

Далее приводится поэтапное графическое решение варианта №17 из данного списка вариантов.

Задачу решаем в следующей последовательности:

Рис.1

Строим плоскость треугольника АВС и точку D по заданным координатам варианта №17 (см. рис.1):

A (70, 45, 60),
B (40, 55, 0),
C (0, 10, 45),
D (65, 0, 15).

Построить свой треугольник онлайн можно перейдя по ссылке.

Рис.2

Затем строим в плоскости треугольника АВС фронталь и горизонталь (см. рис.2).

Фронталь это линия, которая параллельна оси ОХ на горизонтальной плоскости проекции (нижняя часть).
А горизонталь – линия, которая параллельна оси ОХ на фронтальной плоскости проекции (верхняя часть).

Данные линии проводятся через вершины треугольника (через точки А, B, C). В нашем случае через вершину А мы проводим фронталь AF, а через вершину С проводим горизонталь CH.

Рис.3

После того как мы построили фронталь и горизонталь, необходимо из точки D провести перпендикуляр к треугольнику АВС(см. рис.3).

При этом горизонтальная проекция перпендикуляра (от точки D1) должна быть перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали C1H1.

А фронтальная проекция (от точки D2) перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали A2F2;

Рис.4

Теперь необходимо определить точку пересечения перпендикуляра с данной плоскостью, заключив перпендикуляр во вспомогательную плоскость частного положения (см. рис.4).

Перпендикуляр через точку D1 заключаем во вспомогательную плоскость частного положения ∑1

Примечание: необязательно это делать через точку D1, результат через точку D2 будет идентичным.

Так же необязательно рисовать вспомогательную плоскость частного положения ∑1, ее можно просто представить, что мы ее там проводим.

После того как мы провели вспомогательную плоскость ∑1 находим точки пересечения данной плоскости (M1P1) с треугольником АВС. Проецируем их на фронтальную плоскость проекции и получаем точки M2P2.

Потом находим точку пересечения линии M2P2 вспомогательной плоскости с перпендикуляром от точки D2 и отмечаем точку К2. Проецируем точку К2 на горизонтальной плоскости проекции и получаем точку К1.

Рис.5

После того как мы провели перпендикуляр DK, осталось определить его действительную величину  способом прямоугольного треугольника (см. рис.5).

Определяем расстояние по вертикали от точки D до точки K на какой-либо плоскости проекций. Например на горизонтальной (нижней) плоскости проекции.

Примечание: доказательство того что расстояние от точки до плоскости можно определить на любой из плоскостей приекции представлено здесь.

Откладываем это расстояние перпендикулярно отрезку DK на противоположной плоскости проекции (в нашем случа на фронтальной) от любой из вершин (например от точки D) и получили нулевую точку D0.

Расстояние от точки D0 до точки K2 и является искомым расстоянием от точки D до плоскости треугольника АВС.

Рис.6

Найдя расстояние от точки до плоскости треугольника АВС, можно начать строить точку симметричную точке D относительно данного треугольника (см. рис.6).

Симметричная точка подразумевает собой точку, которая отстоит от плоскости треугольника АВС на таком же расстоянии, что и точка D, но с противоположной стороны.

Рассмотрим полученный нами отрезок D0K2. В противоположную сторону от точки K2 откладываем отрезок равный D0K2. Ставим точку Е0.

Рис.7

Затем проводим перпендикуляр к линии пенпендикуляра от точки D на рассматриваемой плоскости проекции (см. рис.7).

В нашем случае на фронтальной плоскости проекции к удлиненной линии D2K2. На пересечении ставим точку Е2.
Линии D2K2 и К2Е2 так же равны между собой.

Рис.8

Строим проекцию полученной точки на противоположную плоскость проекции так же на линию перепендикуляра (см. рис.8).

В нашем случае проецируем полученную точку Е2 на горизонтальную плоскость проекции на линию перепендикуляра (удлинненную линию D1K1). Получаем точку Е1. Линии D1K1 и К1Е1 так же равны между собой.

Источник: http://xn--80a8aj.xn--m1acdi.xn--p1ai/board/10-rasstojanie-ot-tochki-d-do-ploskosti-treugolnika-avs-primer-vypolnenija.html

КрепкоеЗдоровье
Добавить комментарий